Question

12．若a、b、c、d均为正实数，已知下列四个方程：
（1）$\frac{1}{2}$x²+$\sqrt{2a+b}$x+$\sqrt{cd}$=0；
（2）$\frac{1}{2}$x²+$\sqrt{2b+c}$x+$\sqrt{ad}$=0；
（3）$\frac{1}{2}$x²+$\sqrt{2c+d}$x+$\sqrt{ab}$=0；
（4）$\frac{1}{2}$x²+$\sqrt{2d+a}$x+$\sqrt{bc}$=0
试说明：这四个方程中至少有两个方程有不相等的实数根．

Answer 1

分析 利用反证法，假设假设这四个方程中最多只有一个方程有不相等的实数根，令方程（1）有两个不等的实数根，结合根的判别式可得出“①2b+c≤2$\sqrt{ad}$；②2c+a≤2$\sqrt{ab}$；③2d+a≤2$\sqrt{bc}$”，将三个不等式相加结合“若m、n为正实数，则m+n≥2$\sqrt{mn}$”可得出2c+d≤0，这与a、b、c、d均为正实数冲突，由此得出假设不成立，从而证出结论．

解答 证明：假设这四个方程中最多只有一个方程有不相等的实数根，
不失一般性，令方程（1）有两个不相等的实数根，
则由根的判别式可知：
①2b+c≤2$\sqrt{ad}$；②2c+a≤2$\sqrt{ab}$；③2d+a≤2$\sqrt{bc}$．
①+②+③可知：
2a+2b+3c+2d≤2（$\sqrt{ad}$+$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$）≤a+d+a+b+b+c=2a+2b+c+d，
∴2c+d≤0．
∵a、b、c、d均为正实数，
∴结论不成立．
故这四个方程中至少有两个方程有不相等的实数根．

点评 本题考查了反证法的应用、根的判别式，解题的关键是利用反证法证出“这四个方程中最多只有一个方程有不相等的实数根”不成立．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，首先要想到利用反证法，找出结论的反命题，通过根的判别式得出假设不成立，从而证出原结论成立．