Question

16．如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD=60°，点E在AB上运动，点F在BC上运动（E，F两点可以和菱形的顶点重合），且EF=4，点N是线段EF的中点，ME⊥AC垂足为M，则MN的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长EM交AD于K，连接FK，先证明MN=$\frac{1}{2}$KF，KF最小时MN最小，当KF⊥AD时KF最小，根据菱形的面积公式即可解决问题．

解答 解：延长EM交AD于K，连接FK，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC，
∵EM⊥AC，
∴∠AME=∠AMK=90°，
∴∠AEK+∠EAM=90°，∠AKM+∠MAK=90°，
∴∠AEK=∠AKE，
∴AE=AK，EM=KM，
∵EN=NF，
∴MN=$\frac{1}{2}$KF，
∴当KF⊥AD时，KF的值最小，
∵∠BAD=60°，AB=AD=8，
∴S_菱形ABCD=2S_△ABD=AD•FK，
∴2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×8²=8×FK，
∴FK=4$\sqrt{3}$，
∴MN的最小值=$\frac{1}{2}$KF=2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质和判定、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造中位线，利用三角形中位线解决问题，体现了转化的思想，属于中考常考题型．