Question

12．在Rt△AOB中，OA=3，sinB=$\frac{3}{5}$，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点．点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．
（1）线段AP的长度为5-at（用含a、t的代数式表示）；
（2）如图①，连结PO、PM，若a=1，△PMO的面积为S，试求S的最大值；
（3）如图②，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数得出AB的长度解答即可；
（2）过点P作PD⊥OB，根据三角形的面积公式和二次函数的最值解答即可；
（3）根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行解答即可．

解答 解：（1）∵Rt△AOB中，OA=3，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴AB=5，
∵设运动的时间为t，点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动，
∴AP=5-at，
故答案为：5-at；
（2）如图①：
过点P作PD⊥OB，在Rt△PDB中，PB=t，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴PD=$\frac{3}{5}t$，OM=4-t，
∴$S=\frac{1}{2}（4-t）•\frac{3}{5}t=-\frac{3}{10}（t-2）^{2}+\frac{6}{5}$，
∵0≤t≤4，
∴当t=2时，${S}_{最大值}=\frac{6}{5}$；
（3）假设存在，
①若∠PMB=90°，如图②：
∵PA=PM，
在Rt△PMB中，PB=at，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴PM=$\frac{3}{5}$at，MB=$\frac{4}{5}$at，
根据题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{5-at=\frac{3}{5}at}\\{\frac{4}{5}at=t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{4}}\\{t=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，符合题意；
②若∠MPB=90°，如图③，则∠APM=90°，

∴PA=PM，
在Rt△PMB中，PB=at，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴$PM=\frac{3}{4}at，MB=\frac{5}{4}at$，
根据题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{5-at=\frac{3}{4}at}\\{\frac{5}{4}at=t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{5}}\\{t=\frac{25}{7}}\end{array}\right.$，符合题意，
∴存在某时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形，此时$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{5}{4}}\\{{t}_{1}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=\frac{4}{5}}\\{{t}_{2}=\frac{25}{7}}\end{array}\right.$．

点评 此题主要考查了三角形综合题，关键是根据三角函数得出AB的长度，同时根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质解答．