Question

△ABC中，∠ABC=45°，BD⊥AC，AD=2，CD=3，求BD长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：过点A作AE⊥BC于E，与BD相交于点F，连接CF，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=BE，根据同角的余角相等求出∠EBF=∠EAC，然后利用“角角边”证明△ACE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=CE，再求出△ABD和△FCD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：解：如图，过点A作AE⊥BC于E，与BD相交于点F，连接CF，
∵∠ABC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵BD⊥AC，
∴∠EBF+∠ACB=90°，
∠EAC+∠ACB=90°，
∴∠EBF=∠EAC，
在△ACE和△BFE中，

∠EBF=∠EAC AE=BE ∠BEF=∠AEC=90°

，
∴△ACE≌△BFE（ASA），
∴BF=AC，EF=CE，
∴∠EFC=45°，
∵∠ACF+∠EAC=∠EFC=45°，
∠ABD+∠EBF=45°，
∴∠ACF=∠ABD，
又∵∠ADB=∠CDF=90°，
∴△ABD∽△FCD，
∴

AD

DF

=

BD

CD

，
∵AD=2，CD=3，
∴BF=AC=2+3=5，
∴

2

BD-5

=

BD

3

，
整理得，BD²-5BD-6=0，
解得BD=6或BD=-1（舍去），
所以，BD的长为6．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键．