Question

14．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB、BC、AC的长分别是c、a、b，根据“切线长定理”，我们易证得△ABC的内切圆半径r=$\frac{a+b-c}{2}$，当⊙O符合下列条件时，求半径r．
（1）如图2，圆心O在直角三角形外，且⊙O与三角形三边均相切；
（2）如图3，圆心O在直角三角形斜边上，且⊙O与其中一条直角边相切．

Answer 1

分析 （1）如图2，设⊙O与△ABC的边或边的延长线的三个切点分别是D、E、F，连接OE，OF，易得四边形CFOE是正方形，然后利用切线长定理，即可求得答案；
（2）如图3，设⊙O与直角边AC的切点为D，连接OD，易证得OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案．

解答 解：如图2，设⊙O与△ABC的边或边的延长线的三个切点分别是D、E、F，连接OE，OF，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CFOE是矩形，
∵OF=OE，
∴四边形CFOE是正方形，
∴OF=OE=CE=CF=r，
BD=BE=BC-CE=a-r，
由切线长定理得，
∵AD=AF，
即b+r=c+（a-r），
∴r=$\frac{c+a-b}{2}$；
（2）如图3，设⊙O与直角边AC的切点为D，连接OD，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{OA}{AB}$即$\frac{r}{a}=\frac{c-r}{c}$，
∴r=$\frac{ac}{a+c}$．

点评 此题考查了内切圆的性质、正方形的判定与性质，平行线的判定与性质以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．