Question

2．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AB=10，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，求菱形ADCE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据DE∥BC，EC∥AB，得出EC∥DB且EC=DB，在Rt△ABC中，根据CD是边AB上的中线，得出四边形ADCE是平行四边形，求出∠AOD=∠ACB=90°，从而得出四边形ADCE是菱形；
（2）在Rt△ABC中，根据tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，设BC=x，得出AC=2BC=2x，再根据勾股定理求出x的值，因为四边形DBCE是平行四边形，求出DE=BC=2$\sqrt{5}$，最后根据S_ADCE=$\frac{1}{2}$×AC×DE，代值计算即可．

解答 解：（1）∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴EC∥DB，且EC=DB，
在Rt△ABC中，CD是边AB上的中线，
∴AD=DB=CD，
∴EC=AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴ED∥BC，
∴∠AOD=∠ACB，
∴∠ACB=90°，
∴∠AOD=∠ACB=90°，
∴四边形ADCE是菱形；

（2）在Rt△ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
设BC=x，
∴AC=2BC=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=10²，
解得：x=2$\sqrt{5}$，
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE=BC=2$\sqrt{5}$，
∴S_ADCE=$\frac{1}{2}$×AC×DE=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=20．

点评 此题主要考查了菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．