Question

在等边△ABC中，边AB=2cm，点D是边BC的中点，点E是从点B沿B→A→C的方向开始运动的一个动点，速度为1cm/s，当E点运动t秒时，

（1）当△BED是直角三角形时，求t的值；
（2）当DE将△ABC的周长分成的两部分之间是2倍的关系时，求t的值；
（3）当点E只在边AC上运动时，是否存在一点E使得DE+BE的值取得最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请直接写出此时DE+BE的最小值（不要求写过程）．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,一元一次方程的应用,含30度角的直角三角形

专题：分类讨论

分析：（1）分两种情况讨论即可求得；
（2）由于动点E从B点出发，沿B→A→C的方向运动，所以分两种情况进行讨论：（1）E点在AB上，设运动时间为t，用含t的代数式分别表示BE，AE，根据条件过D、E两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t值；（2）E点在AC上，同理，可解出t的值．
（3）作B关于AC的对称点B′，然后连接BD交AC于E，即为所求；此时DE+BE=B′D，作BG⊥BC于G，根据30°的直角三角形的性质求得B′G=

3

，BG=3，进而求得DG，根据勾股定理即可求得．

解答：解：（1）分两种情况：

当∠BED=90°时，
如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=

1

2

BD，
∵AB=AC=BC=2cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×2=1cm，
∴BE=

1

2

cm，
∴t=

1

2

秒；
当∠BDE=90°时，
∵△ABC是等边三角形，BD=DC，
∴E与A重合，
∴BE=AB=2cm．
∴t=2秒
（2）分两种情况：

E点在AB上时，如图，
∵AB=AC=2cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×2=1cm，
设E点运动了t秒，则BE=t，AE=2-t，由题意得：
BE+BD=

1

2

（AE+AC+CD），
∴t+1=

1

2

（2-t+2+1），
解得t=1秒；
E点在AC上时，如图，
∵AB=AC=BC=2cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×2=1cm，E点运动了t秒，
则AB+AE=t，EC=AB+AC-t=4-t，
由题意得：BD+AB+AE=2（EC+CD），
∴1+t=2（4-t+1），
解得t=3秒．
故当t=1或3秒时，DE把△ABC的周长分成的两部分之间是2倍的关系．
（3）作B关于AC的对称点B′，然后连接BD交AC于E，即为所求；此时DE+BE=B′D；
作BG⊥BC于G，

∴△ABC是等边三角形，BC=2，
∴∠B′BC=30°，B′B=2

3

，
∴B′G=

3

，BG=3，
∵BD=CD=1，
∴DG=2，
在RT△B′GD中，B′D=

DG2+B′G2

=

7

．
∴DE+BE的最小值=

7

．

点评：此题考查等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，轴对称-最短路线问题，还涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，解答此题时要分两种情况讨论，不要漏解．