Question

观察算式：

1

1×2

=1-

1

2

=

1

2

； 

1

1×2

+

1

2×3

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

=

2

3

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=

3

4

（1）按规律填空

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

=

 

；
（2）如果有理数a，b满足|ab-2|+（1-b）²=0，

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2004)(b+2004)

的值．

Answer 1

考点：有理数的混合运算,非负数的性质：绝对值,非负数的性质：偶次方

专题：规律型

分析：（1）把所求式子的各项拆项后，去括号合并即可求出值
（2）由绝对值和完全平方式的结果为非负数，且两非负数之和为0可得绝对值和完全平方式同时为0，可得ab=2且b=1，把b=1代入ab=2可求出a的值为2，把求出的a与b代入所求的式子中，利用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

把所求式子的各项拆项后，去括号合并即可求出值．

解答：解：（1）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

99

-

1

100

）
=1-

1

100

=

99

100

；
（2）∵|ab-2|≥0，（1-b）²≥0，且|ab-2|+（1-b）²=0，
∴ab-2=0，且1-b=0，解得ab=2，且b=1，
把b=1代入ab=2中，解得a=2，
则

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2004)(b+2004)

=

1

2

+

1

3×2

+

1

4×3

+…+

1

2006×2005

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2005

-

1

2006

）
=1--

1

2006

=

2005

2006

．
故答案为：

99

100

．

点评：此题考查了有理数的混合运算，要求学生掌握两非负数之和为0时，两非负数必须同时为0，本题若直接按照运算顺序解题，运算量非常大，需利用计算技巧简化运算，根据所求式子各项的特点，利用拆项法进行化简，使拆开的一部分分数互相抵消，达到简化运算的目的．熟练运用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解本题的关键．