题目内容
3．
如图，在?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．（1）试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；
（2）当旋转角为90°时，判断四边形ABEF的形状并证明；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，求出此时AC 绕点O顺时针旋转的角度．
分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA=OC，求出∠1=∠2，根据ASA推出△AOF≌△COE即可；
（2）求出BA∥EF，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，即AF∥BE，根据平行四边形的判定得出即可；
（3）求出四边形BEDF是平行四边形，根据菱形的判定得出即可；求出∠AOB，即可求出∠3，即可得出答案．
解答 解：（1）∵在□ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COEE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{OA=OC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；
（2）四边形ABEF是平行四边形，
由题意，∠AOF=90°，（如图1），
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴BA∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
∵BA∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形（如图2），
∵AF=CE，AD∥BC，AD=BC，
∴FD∥BE；DF=BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴口BEDF是菱形，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴BC2=AB2+AC2，
∵AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{B{C^2}+A{B^2}}$=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠3=∠BOF-∠AOB=90°-45°=45°，
即旋转角为45°．
点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），等边△AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOC：∠AOD=4：5，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
如图，在?ABCD中，AE﹕EB=1﹕2，
如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB，交CB的延长线于点G，∠G=90°．