Question

11．如图1，二次函数y=a（x²-x-6）（a≠0）的图象过点C（1，-$\sqrt{3}$），与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴上），且A，C两点关于正比例函数y=kx（k≠0）的图象对称．
（1）求二次函数与正比例函数的解析式；
（2）如图2，过点B作BD⊥x轴交正比例函数图象于点D，连接AC，交正比例函数的图象于点E，连接AD，CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连接PQ，QE，PE，设运动时间为t秒，是否存在某一刻，使PE，QE分别平分∠APQ和∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出a的值，求出AC中点E坐标，再证明OA=OC，直线OE就是所求的正比例函数．
（2）如答图1所示，关键是证明△APE∽△CEQ．根据∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，证明△APE∽△CEQ，根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间t的值．

解答 解：（1）把点C（1，-$\sqrt{3}$）代入抛物线解析式y=a（x²-x-6）得a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{6}$-$\sqrt{3}$，
∵OA=2，OC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴OA=OC，
∵A、C中点E的坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴直线OE垂直平分AC，即A、C关于直线OE对称，
∴直线OE解析式为y=$\sqrt{3}$x，
∴所求是正比例函数解析式为y=$\sqrt{3}$x．
（2）假设存在．
如答图1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：
AC=$\sqrt{A{K}^{2}+C{K}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵OB=3，
∴BD=3$\sqrt{3}$，AB=OA+OB=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵点A、C关于y=$\sqrt{3}$x对称，
∴CD=AD=2$\sqrt{13}$，∠DAC=∠DCA，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
连接PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE，
在四边形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°（四边形内角和等于360°），
即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，
∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°，
又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°（三角形内角和定理），
∴∠AEP=∠CQE，
在△APE与△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，
∴△APE∽△CEQ，
∴$\frac{CQ}{AE}$=$\frac{CE}{AP}$，即：$\frac{2\sqrt{13}-t}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2t}$，
整理得：2t²-4$\sqrt{13}$t+3=0，
解得：t=$\frac{2\sqrt{13}-\sqrt{46}}{2}$或t=$\frac{2\sqrt{13}+\sqrt{46}}{2}$（t＜$\sqrt{13}$，所以舍去），
∴存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，此时t=$\frac{2\sqrt{13}-\sqrt{46}}{2}$．

点评 本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、正比例函数的图象与性质、待定系数法、对称、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点．试题的难点在于第（2）问，图形中线段较多关系复杂，难以从中发现有效的等量关系，证明△APE∽△CEQ是解题关键．