Question

12．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）如果PE=4，EF=5，求线段PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDC=∠BDA，然后利用“边角边”证明△APD和△CPD全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可
（2）利用两组角相等则两三角形相似证明△APE与△FPA；根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．

解答 （1）证明：在菱形ABCD中，AD=CD，∠BDC=∠BDA，
在△APD和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠BDC=∠CBD}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴∠DCP=∠DAP；
（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，
又∵∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
∴$\frac{AP}{PF}=\frac{PE}{PA}$．
∴PA²=PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC²=PE•PF，
∵PE=4，EF=5，
∴PF=9，
∴PC=6．

点评 本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．