Question

在△ABC中，AB=AC=4，腰上高CH为2

3

．E是BC上一点，EF∥AB交AC于F，EP⊥AB垂足为P．设BP=x，梯形BEFA的面积为y．求：
（1）y与x的函数关系及定义域；   
（2）当梯形BEFA面积为△ABC面积一半时，求BP的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,一元二次方程的应用,勾股定理

专题：

分析：（1）由条件可证明△ABC为等边三角形，再利用x表示出EF的长和PE的长可得到y与x的函数关系式；
（2）可先求得△ABC的面积，当y=

1

2

S_△ABC，代入函数解析式求出x即可．

解答：解：（1）∵AC=4，CH=2

3

，
∴sin∠A=

CH

AC

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠A=60°，且AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC=AC=4，
∵EF∥AB，
∴△CEF为等边三角形，
∴EF=CE，
当BP=x，则BE=2x，PE=

3

x，
∴EF=CE=BC-BE=4-2x，
∴y=

1

2

（AB+EF）•PE=

1

2

×（4+4-2x）×

3

x=-

3

x²+4

3

x，
∵P点在AB上，
∴0＜x＜4，
综上可知y与x的函数关系为y═-

3

x²+4x，其定义域为0＜x＜4；
（2）∵S_△ABC=

1

2

AB•CH=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
∴当梯形BEFA面积为△ABC面积一半时，y=2

3

，
∴2

3

=-

3

x²+4

3

x，解得x=2+

2

或x=2-

2

，
即当梯形BEFA面积为△ABC面积一半时，BP的长为2+

2

或2-

2

．

点评：本题主要考查等边三角形的判定和性质，由条件判定出△ABC为等边三角形是解题的关键．