Question

6．如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，且PB=PA．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）已知：$\frac{DB}{BF}$=2，求cos∠BCA的值．

Answer 1

分析 （1）连结OB、OA，如图，先证明△PAO≌△PBO得到∠OAP=∠OBP，则有∠OBP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线PB是⊙O的切线；
（2）由△PAO≌△PBO得到∠1=∠2，则可证明BC∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{BD}{BP}$=$\frac{CD}{OC}$=2，则可设BP=a，OC=R，则BD=2a，CD=2R，在Rt△OBD中，利用勾股定理得R²+（2a）²=（3R）²，解得a=$\sqrt{2}$R，所以PA=PB=$\sqrt{2}$R，然后在Rt△POA中，利用勾股定理计算出OP=$\sqrt{3}$R，则可根据余弦定义得到cos∠2=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是有cos∠BCA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 （1）证明：连结OB、OA，如图，
在△PAO和△PBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{OA=OB}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠OAP=∠OBP，
∵PA⊥AC，
∴∠PAO=90°，
∴∠OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴直线PB是⊙O的切线；
（2）解：∵△PAO≌△PBO，
∴∠1=∠2，
∵∠AOB=∠OCB+∠OBC，
而∠OCB=∠OBC，
∴∠2=∠OCB，
∴BC∥OP，
∴$\frac{BD}{BP}$=$\frac{CD}{OC}$=2，
设BP=a，OC=R，则BD=2a，CD=2R，
在Rt△OBD中，BD=2a，OB=R，OD=3R，
∴R²+（2a）²=（3R）²，解得a=$\sqrt{2}$R，
∴PA=PB=$\sqrt{2}$R，
在Rt△POA中，OP=$\sqrt{O{A}^{2}+P{A}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}+（\sqrt{2}R）^{2}}$=$\sqrt{3}$R，
∵cos∠2=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{R}{\sqrt{3}R}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
而∠2=∠BCA，
∴cos∠BCA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理．