Question

16．已知直线y=x-4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P（1，m）在直线AB上．
（1）在y轴上找一点M，使MP+MA最小；
（2）在x轴上找一点N，使PN最小．

Answer 1

分析 （1）作A点关于y轴的对称点A′，连接PA′交y轴于M，此时MP+MA=MP+MA′=PA′，根据两点之间线段最短可知此时MP+MA最小，求得A′、P的坐标，利用待定系数法即可求得直线PA′的解析式，进而求得M的坐标；
（2）作PN⊥x轴于N，根据垂线段最短可知PN最小；根据P的坐标即可求得N的坐标．

解答 解：（1）如图，作A点关于y轴的对称点A′，连接PA′交y轴于M，此时MP+MA=MP+MA′=PA′，根据两点之间线段最短可知此时MP+MA最小，
∵点P（1，m）在直线AB上，
∴m=1-4=-3，
∴P（1，-3），
由直线y=x-4可知A（4，0），
∴A′（-4，0），
设直线PA′的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴M（0，-$\frac{12}{5}$）．
（2）如图，作PN⊥x轴于N，根据垂线段最短可知PN最小；
∵P（1，-3），
∴N（1，0）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短以及垂线段最短是解题的关键．