Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=4$\sqrt{6}$，AD=10．连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′．当射线BE′和射线BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G．若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为$\frac{98}{17}$．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质，寻找等角，等角对等边，构造相似三角形，利用对应线段成比例，即可得答案．

解答 解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{6}）^{2}+1{0}^{2}}$=14，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得：
BF²=（4$\sqrt{6}$）²+（10-BF）²，
解得BF=$\frac{49}{5}$，
AF=10-$\frac{49}{5}$=$\frac{1}{5}$．
过G作GH∥BF，交BD于H，
∴∠FBD=∠GHD，∠BGH=∠FBG，
∵FB=FD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴∠FDB=∠GHD，
∴GH=GD，
∵∠FBG=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ADB=$\frac{1}{2}$∠FBD，
又∵∠FBG=∠BGH，∠FBG=∠GBH，
∴BH=GH，
设DG=GH=BH=x，则FG=FD-GD=$\frac{49}{5}$-x，HD=14-x，
∵GH∥FB，
∴$\frac{FD}{GD}=\frac{BD}{HD}$，即$\frac{\frac{49}{5}}{x}=\frac{14}{14-x}$，
解得x=$\frac{98}{17}$．
故答案为：$\frac{98}{17}$．

点评 本题考查了旋转的性质，利用了勾股定理，旋转的性质，正切函数的定义是解题关键．