Question

20．如图1，抛物线经经过原点O（0，0），点B（5，5），对称轴为x=2．

（1）直接写出该抛物线与x轴的另一交点A的坐标；及求出抛物线的解析式（要过程）．
（3）如图2，连接OB，在位于x轴下方抛物线的图象上，存在一点C，使得∠BOC=90°．请求出C点坐标．
（3）如图3，若P为线段OB上一个动点，且$\sqrt{2}$≤OP≤3$\sqrt{2}$，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线交抛物线与点E，交x轴于点F，连接PA、AE、OE．问在点P运动过程中，四边形OPAE面积的最大值和最小值分别为多少？

Answer 1

分析 （1）根据对称性即可直接求得A的坐标，则把O、A、B的坐标代入即可求得解析式；
（2）作BD⊥y轴于点D，作CE⊥y轴于点E，则证明△OBD∽△COE，设C的横坐标是t，则坐标是（t，t²-4t），则OA=t，OE=4t-t²．根据相似三角形的性质即可列方程求解；
（3）点P的横坐标为m的取值范围是：1≤m≤3．P的坐标是（m，m），根据S_{四边形OPAE}=S_△OAP+S_△OAE即可写出函数解析式，根据二次函数的性质求得．

解答 解：（1）A的坐标是（4，0）．
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c．
根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{25a+5b+c=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=x²-4x；
（2）作BD⊥y轴于点D，作CE⊥y轴于点E，则BD=OD=5．
设C的横坐标是t，则坐标是（t，t²-4t），则OA=t，OE=4t-t²．
∵∠BOC=90°，
∴∠BOD+∠EOC=90°，
又∵在直角△OBD中，∠BOD+∠DBO=90°，
∴∠DBO=∠EOC，
又∵∠BDO=∠OEC=90°，
∴△OBD∽△COE，
又∵BD=OD，
∴OE=EC，
∴t=4t-t²．
解得：t=0（舍去）或3，
则C的坐标是（3，-3）；
（3）∵B（5，5），
∴△OPF是等腰直角三角形，
∴当$\sqrt{2}$≤OP≤3$\sqrt{2}$，
∴点P的横坐标为m的取值范围是：1≤m≤3．P的坐标是（m，m），
把x=m代入y=x²-4x得y=m²-4m．则EF=4m-m2．
∵S_{四边形OPAE}=S_△OAP+S_△OAE=$\frac{1}{2}$×4m+$\frac{1}{2}$×4（4m-m2），
∴设y=S_{四边形OPAE}，则y=-2m²+10m，
对称轴是x=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$，
则当m=1时，取得最小值是：-2+10=8；
当x=$\frac{5}{2}$时，取得最小值是-2×$\frac{25}{4}$+10×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，正确理解点P的横坐标为m的取值范围是：1≤m≤3是解决本题的关键．