Question

1．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过$\widehat{BC}$的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．
（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理得出PG⊥BC，CD=BD，再由三角函数求出∠BOD=60°，证出AC∥PG，得出同位角相等即可；
（2）先由SAS证明△PDB≌△CDK，得出CK=BP，∠OPB=∠CKD，证出AG=CK，再证明AG∥CK，即可得出结论；
（3）先证出DH∥AG，得出∠OAG=∠OHD，再证OD=OH，由SAS证明△OBD≌△HOP，得出∠OHP=∠ODB=90°，即可得出结论．

解答 （1）解：∵点P为$\widehat{BC}$的中点，AB为⊙O直径，
∴BP=PC，PG⊥BC，CD=BD，
∴∠ODB=90°，
∵D为OP的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$OB，
∴cos∠BOD=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BOD=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥PG，
∴∠BAC=∠BOD=60°；
（2）证明：由（1）知，CD=BD，
在△PDB和△CDK中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}&{\;}\\{∠BDP=∠CDK}&{\;}\\{DP=DK}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDB≌△CDK（SAS），
∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，
∴AG=BP，
∴AG=CK，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
又∵∠G=∠OBP，
∴AG∥CK，
∴四边形AGCK是平行四边形；
（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，
∴DE∥PB，
即DH∥PB
∵∠G=∠OPB，
∴PB∥AG，
∴DH∥AG，
∴∠OAG=∠OHD，
∵OA=OG，
∴∠OAG=∠G，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH，
在△OBD和△HOP中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OH}&{\;}\\{∠BOD=∠HOP}&{\;}\\{OB=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△HOP（SAS），
∴∠OHP=∠ODB=90°，
∴PH⊥AB．

点评 本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论．