Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，射线AM平分∠BAC．
（1）设AM交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．有以下三种“判断”：
判断1：AD垂直平分EF．
判断2：EF垂直平分AD．
判断3：AD与EF互相垂直平分．
你同意哪个“判断”？简述理由；
（2）若射线AM上有一点N到△ABC的顶点B，C的距离相等，连接NB，NC．
①请指出△NBC的形状，并说明理由；
②当AB=11，AC=7时，求四边形ABNC的面积．

Answer 1

分析 （1）结论：判断3正确．只要证明四边形AEDF是正方形即可解决问题．
（2）①△BCN是等腰直角三角形．如图作NE⊥AB于E，FN⊥AC于F．只要证明△NEB≌△NFC，四边形AENF是正方形即可解决问题．
②由△NEB≌△NFC，推出S_△NEB=S_△NFC，推出S_{四边形ABNC}=S_{正方形AENF}，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图，判断3正确．理由如下：

∵∠BAC=90°，DE⊥ABDF⊥AC，
∴DE=DF，∴∠AED=∠AFD=∠EAF=90°，
∴四边形AEDF是矩形，∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴AD与EF互相垂直平分．
故判断3正确．

（2）①结论：△BCN是等腰直角三角形．理由如下：
如图作NE⊥AB于E，FN⊥AC于F．

∵MA是∠BAC的平分线，
∴NE=NF，
在Rt△NEB和Rt△NFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{NB=NC}\\{NE=NF}\end{array}\right.$，
∴△NEB≌△NFC，
∴BE=CF，∠BNE=∠CNF，
易知四边形AENF是正方形，
∴AE=AF，∠BNC=∠ENF=90°，
∴△BNC是等腰直角三角形．

②∵AB+AC=（AE+BE）+（AF-CF）=2AE=18，
∴AE=AF=9，
∵△NEB≌△NFC，
∴S_△NEB=S_△NFC，
∴S_{四边形ABNC}=S_{正方形AENF}=9²=81．

点评 本题考查线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．