Question

5．已知二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$与x轴有两个交点，且k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$图象经过原点时，直线y=3x+2与之交于A、B两点，若M是抛物线上在直线y=3x+2下方的一个动点，△MAB面积是否存在最大值？若存在，请求出M点坐标，并求出△MAB面积最大值；若不存在，请说明理由．
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个新图象．若直线y=kx+2（k＞0）与该新图象恰好有三个公共点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）一元二次方程根的判别式即可确定出k的值；
（2）先判断出平行于直线y=3x+2的直线与抛物线只有一个交点时，△MAB的面积最大，再求出点M的坐标，再用三角形的面积公式；
（3）找出直线y=kx+2与新图象恰有三个交点时的分界位置，分别求出即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$与x轴有两个交点，
∴△=b²-4ac=4-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，
∴k-1＜2．
∴k＜3．
∵k为正整数，
∴k为1，2．
（2）如图1，把x=0代入方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0中，得k=1，
此时二次函数为y=x²+2x，
此时直线y=3x+2与二次函数y=x²+2x的交点为A（-1，-1），B（2，8）
设与直线y=3x+2平行的直线为y=3x+b，列方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=3x+b}\end{array}\right.$
即：x²-x-b=0，
∴△=b²-4ac=1+4b=0，
∴b=-$\frac{1}{4}$时有一个交点，代入x²-x-b=0中，
得交点M坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），
过点M作MN∥x轴交直线AB于点N，点N坐标为（-$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$）．∴MN=$\frac{3}{4}$．
∴S_△MAB=$\frac{1}{2}$MN（y_B-y_A）=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×9=\frac{27}{8}$．
（3）由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=-x²-2x，
当直线与新图象有3个公共点（如图2所示），直线为l₁、l₂，其中l₁过点C，l₂与翻转部分图象有一个交点．分为以下两种情况：
①直线l₁：y=kx+2过点C（-2，0），代入y=kx+2得：k=1．
②直线l_2：
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=-{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$有一组解，此时x²+2x+kx+2有两个相等的实数根，
即△=0，解得：k=-2+2$\sqrt{2}$或k=-2-2$\sqrt{2}$．
综上所述k=1或k=-2+2$\sqrt{2}$时，与该新图象恰好有三个公共点．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程根的判别式，解方程组，极值的确定，解（2）的关键是判断出△MAB的面积最大时点M的位置，解（3）直线y=kx+2与新图象有三个交点时的位置，是一道比较好的中考常考题．