抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A.B两点.交y轴于点C.且满足OA=OC=$\frac{5}{2}$OB.△ABC的面积为$\frac{15}{2}$．(1)求抛物线的解析式,(2)点E是直线AC上方第二象限内一点.点F在AC上.且EF⊥AC.设点E的横坐标为t.EF的长为d.tan∠CAE=$\frac{1}{2}$.用含t的式子表示d,的条件下.连接OE.交抛物线于点H.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且满足OA=OC=$\frac{5}{2}$OB，△ABC的面积为$\frac{15}{2}$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直线AC上方第二象限内一点，点F在AC上，且EF⊥AC，设点E的横坐标为t，EF的长为d，tan∠CAE=$\frac{1}{2}$，用含t的式子表示d；
（3）在（2）的条件下，连接OE，交抛物线于点H，点Q在x轴上，∠HQA+∠CAE=45°，AE=QH，求点Q的坐标．

分析（1）先设出OB长，表示出OA，OC，利用△ABC的面积建立方程求出OA，OB，OC，即可得出点A，B，C的坐标，最好用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用等腰直角三角形的性质得出EP=-$\sqrt{2}$t，利用三角函数表示出AF，进而表示出PF，再用d表示出EP，建立方程即可得出结论；
（3）先求出tan∠AEG=$\frac{1}{3}$，在判断出△AEM≌△HQI，进而得出AM=HI=$\frac{1}{3}$EM，即$\frac{OI}{IM}=\frac{1}{2}$设OI=m，则IM=2m，AM=5-3m得出H（-m，5-3m）代入抛物线解析式求出m，即可求出EM=6即可．

解答解：（1）设OB=x，则OA=OC=$\frac{5}{2}$x，
∵△ABC的面积为$\frac{15}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{2}$x-x）•$\frac{5}{2}$x=$\frac{15}{2}$
∴x=2或-2（舍），
∴OA=OC=5，OB=2，
∴A（-5，0），B（-2，0），C（0，5），
设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+2）=ax²+7ax+10a，
∴10a=5，
∴a=$\frac{1}{2}$
抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x+5；

（2）如图2，作EM⊥OA于M，延长EF交y轴于P，过P作PN⊥EM于N．
∵E的横坐标为t，
∴PN=-t，
∴∠EPN=90°-∠CPF=45°，
∴EP=-$\sqrt{2}$t，
在Rt△AEF中，EF=d，tan∠CAE=$\frac{1}{2}$，
∴AF=2d，
∵OA=OC=5，
∴AC=5$\sqrt{2}$，∠ACO=45°，
∴CF=AC-AF=5$\sqrt{2}$-2d，
∵EF⊥AC，∠ACO=45°，
∴PF=CF=5$\sqrt{2}$-2d，
∴EP=EF+PF=5$\sqrt{2}$-2d=-$\sqrt{2}$t，
∴d=5$\sqrt{2}$+2t
（3）如图3，过点E作EM⊥AB于M交AC于G，
∵∠HQA+∠CAE=45°，
又∵∠AEM+∠CAE=45°，∠HQA+∠CAE=45°，
∴∠AEM=∠HQA
在△AFG中，FG=EF=d，
∴AG=AF-FG=2d-d=d，EG=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$d，
在等腰直角三角形AMG中，AM=GM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$d，
∴EM=EG+GM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$d，
在Rt△AEM中，tan∠AEG=$\frac{AM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，
过H作HI⊥x轴于I，
在△AEM和△HQI中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠HIQ=90°}\\{∠AEM=∠HQI}\\{AE=HQ}\end{array}\right.$，
△AEM≌△HQI，
∴EM=QI，AM=HI=$\frac{1}{3}$EM，
∴$\frac{OI}{IM}=\frac{1}{2}$
设OI=m，则IM=2m，AM=5-3m，
∴H（-m，5-3m）
代入抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x+5中，得m₁=1，m₂=0（舍去），
∴I（-1，0），AM=2，
∴EM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$d=3AM=6，
设Q（n，0），
∴QI=|-1-n|=|n+1|，
∵QI=EM=6，
∴n+1=±6，
∴n=-7或5，
∴Q₁（5，0），Q₂（-7，0）．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，解（1）的关键是求出点A，B，C的坐标，解（2）的关键是作出辅助线求出PF=CF=5$\sqrt{2}$-2d，解（3）的关键是tan∠AEG=$\frac{AM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，是一道综合性比较强的中考常考题．