Question

5．已知二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于B（-2，0），C（4，0）两点，点E是对称轴l与x轴的交点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若在x轴上方的P点为抛物线上的动点，且∠BPC为锐角，直接写出PE的取值范围．
（3）T为y轴上一动点，且∠BPC=30°，求T点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将B、C坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可确定该抛物线的解析式．
（2）此题应该结合圆周角定理来理解，以E为圆心，BC为半径作圆，交抛物线于M、N两点，那么∠BMC=∠BNC=90°，若∠BEC是锐角，那么点E必在M、N之间的函数图象上，当P位于M或N得位置时，PE=3，当P位于抛物线的顶点时，PE的值为抛物线顶点纵坐标，由此可求得PE的取值范围；
（3）先作出等边三角形BCD，再结合圆周角定理来理解，以D为圆心，BC为半径作圆，和y轴交于点T，最后借助矩形的性质和垂径定理即可求出点T的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于B（-2，0），C（4，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4-2b+c=0}\\{-16+4b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x+8，
（2）如图，

以E为圆心，BC长为直径作圆，交抛物线于M、N两点；
由圆周角定理知：∠BMC=∠BNC=90°，
此时ME=NE=$\frac{1}{2}$BC=3；
若∠BPC是锐角，那么点P必在M、N之间的抛物线图象上，故PE＞3；
易知抛物线的顶点坐标为：（1，9），
当点P运动到抛物线的顶点位置时，PE的长最大，且此时PE=9；
综上可知，PE的取值范围为：3＜PE≤9．
（3）如图2，

以BC为边在x轴上方作等边三角形，交直线l于点D，
再以点D为圆心BC为半径画圆，交y轴的正半轴于点T，
由圆周角定理知，∠BTC=$\frac{1}{2}$∠BDC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在等边三角形BCD中，DT=BD=BC=6，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=3$\sqrt{3}$，
过点D作DF⊥y轴于F，
∴四边形OEDF是矩形，
∴OF=DE=3$\sqrt{3}$，
∵二次函数的表达式为y=-x²+2x+8，
∴DF=OE=1，
在RtDFT中，FT=$\sqrt{D{T}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{35}$
由垂径定理，得，OT=OF+FT=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{35}$，
∴T（0，3$\sqrt{3}$+$\sqrt{35}$），
由对称性可知，T'（0，-3$\sqrt{3}$-$\sqrt{35}$），
即：T为y轴上一动点，且∠BPC=30°时，T点的坐标为（0，3$\sqrt{3}$+$\sqrt{35}$）或（0，-3$\sqrt{3}$-$\sqrt{35}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、圆周角定理、矩形的性质，等边三角形的性质；涉及的知识点较多，综合性强，难度较大，解本题的关键是借助圆周角定理作出辅助线，也是解本题的难点．