Question

11．如图，在平面直角坐标系中有一个Rt△ABO，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1），将△ABO绕点A按顺时针方向旋转45°，点O的对应点D恰好落在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上，在此双曲线上存在一点E，若点E到x轴的距离为2，则点E的坐标为（　　）

• A． （-2，1-$\sqrt{2}$）
• B． （-2，$\sqrt{2}-1$）
• C． （1-$\sqrt{2}$，-2）
• D． （$\sqrt{2}-1，-2$）

Answer 1

分析 作DH⊥OA于H，如图，根据旋转的性质得AD=AO=2，∠OAD=45°，则可判断△ADH为等腰直角三角形，则DH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，易得D（-2+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），利用待定系数法可确定反比例函数的解析式，然后计算函数值为-2所对应的自变量的值即可得到E点坐标．

解答 解：作DH⊥OA于H，如图，
∵△ABO绕点A按顺时针方向旋转45°，
∴AD=AO=2，∠OAD=45°，
∴△ADH为等腰直角三角形，
∴DH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，
∴OH=OA-AH=2-$\sqrt{2}$，
∴D（-2+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
把D（-2+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=（-2+$\sqrt{2}$）×（-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2\sqrt{2}-2}{x}$（x＜0），
当y=-2时，$\frac{2\sqrt{2}-2}{x}$=-2，解得x=1-$\sqrt{2}$，
∴E点坐标为（1-$\sqrt{2}$，-2）．
故选C．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．