Question

1．如图在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，AE平分∠BAC交BC于点E，过B作BF⊥AE交AE于点F，将△ABF沿AB翻折得到△ABG，将△ABG绕点A逆时针旋转角a，（其中0°＜a＜180°）记旋转中的△ABG为△AB′G′，在旋转过程中，设直线B′G′分别与直线AD、直线AC交于点M、N，当MA=MN时，线段MD长为8-$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 如图作MP⊥AC垂足为P，EQ⊥AC于Q．于△AEB≌△AEQ，推出AQ=AB=6，QC=4，设BE=EQ=x，在Rt△CEQ中，于EC²=EQ²+CQ²，可得x²+4²=（8-x）²，x=3，推出BE=EQ=3，AE=3$\sqrt{5}$，推出BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，AG′=AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，于sin∠ANM=sin∠DAC=$\frac{3}{5}$=$\frac{AG′}{AN}$，推出AN=4$\sqrt{5}$，在Rt△APM中，AP=PN=2$\sqrt{5}$，可得$\frac{AP}{AM}$=cos∠DAC=$\frac{4}{5}$，推出AM=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，推出DM=AD-AM=8-$\frac{5\sqrt{5}}{2}$即可．

解答 解：如图，AM=NM，作MP⊥AC垂足为P，EQ⊥AC于Q．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BC=AD=8，AB=CD=6，AD∥BC
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵∠EAB=∠EAQ，AE=AE，∠ABE=∠AQE，
∴△AEB≌△AEQ，
∴AQ=AB=6，QC=4，设BE=EQ=x，
在Rt△CEQ中，∵EC²=EQ²+CQ²，
∴x²+4²=（8-x）²，
∴x=3，
∴BE=EQ=3，AE=3$\sqrt{5}$，
∴BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，AG′=AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵MA=MN，
∴sin∠ANM=sin∠DAC=$\frac{3}{5}$=$\frac{AG′}{AN}$，
∴AN=4$\sqrt{5}$，
在Rt△APM中，AP=PN=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AP}{AM}$=cos∠DAC=$\frac{4}{5}$，
∴AM=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴DM=AD-AM=8-$\frac{5\sqrt{5}}{2}$
故答案为8-$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查矩形的性质、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，题目有点难度，属于中考压轴题．