Question

16．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE=DC．求证：四边形ADCE是矩形．

Answer 1

分析 由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，即∠ADC=90°，再由AE平分∠CAF和∠CAF=2∠B，可证明AE∥DC，又因为AE=DC，所以四边形ADCE是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形即可证明四边形ADCE是矩形．

解答 证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠B=∠ACB，
∴∠ADC=90°，
∵AE为△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠CAE=∠FAE，
∵∠FAC=∠B+∠ACB，
∴∠FAC=2∠B，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥CD，
∵AE=DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE为矩形．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质：三线合一以及三角形中位线的性质．解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．