Question

12．在平面直角坐标系xOy中，把抛物线C₁：y=x²-4沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度，得抛物线C₂，C₁和C₂的交点为点M（如图1）
（1）用含m的式子来表示抛物线C₂的解析式和点M的坐标；
（2）定义：像C₁和C₂两条抛物线，是把其中一条沿水平方向向左（像向右）平移得到另一条．若两抛物线的顶点P、Q以及交点M满足∠PMQ=90°，则这样的两条抛物线互为“和谐线”．
①求抛物线C₁：y=x²-4的和谐线；
②如图2，抛物线C₁：y=x²-4与x轴正半轴的交点为A，与它的和谐线的交点为M（点M在第四象限），连接MA，过点M作MH⊥x轴，在x轴上存在一点N，使∠ONM+∠AMH=45°，求点N的坐标

Answer 1

分析 （1）利用平移的性质即可得出结论，再联立方程组求解即可得点M的坐标；
（2）由和谐线的意义得出△PMQ是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可得出m的值，
（3）先确定出直线OM的解析式，进而求出过原点而垂直于OM的直线的解析式，利用OD=OM求出点D的坐标，即可得出直线DM的解析式，与x轴的交点是点N即可，同理得出x轴正半轴上的一个点．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y=x²-4①沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度，得抛物线C₂，
∴抛物线C₂的解析式为y=（x-m）²-4=x²-2mx+m²-4②，
联立①②得，x=$\frac{m}{2}$，y=$\frac{{m}^{2}}{4}$-4，
∴M（$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}}{4}-4$）；
（2）设抛物线C₁：y=x²-4的和谐线抛物线C₂的解析式为y=（x-m）²-4，
∴抛物线C₁的顶点P（0，-4），抛物线C₂的顶点Q（m，-4），
∴PQ=|m|，同（1）的方法得，M（$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}}{4}-4$）；
由“和谐线”的定义，易知，△PMQ是等腰直角三角形，
∴$\frac{{m}^{2}}{4}$-4+4=$\frac{1}{2}$|m|，
∴m=-2或m=2，
∴抛物线C₂的解析式为y=（x-2）²-4或y=（x+2）²-4．

（3）当点N在x轴负半轴上时，如图，
由（2）知，M（1，-3），抛物线C₂过原点，
∴直线OM的解析式为y=-3x，
过点O作OD⊥OM，截取OD=OM，
∴△ODM是等腰直角三角形，
∴∠ODM=45°，
∵∠DON+∠MOA=90°，∠OMH+∠MOH=90°，
∴∠DON=∠OMH，
∵∠OMH=∠AMH，
∴∠AMH=∠DON，
∴直线OD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x，
设点D的坐标为（3m，m）（m＜0），
∴9m²+m²=10，
∴m=1（舍）或m=-1，
∴D（-3，-1），
∵M（1，-3），
∴直线DM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
令y=0，得-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$=0，
∴x=-5，
∴N（-5，0），
同理可得，x轴正半轴上的一个N点的坐标为（7，0）．
即：满足条件的点N（-5，0）或（7，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了平移的性质，和谐线的意义的理解和应用，和谐线的特点，解（2）的关键是利用等腰直角三角形的性质建立方程，解（3）的关键是找出点N的位置，是一道典型的新定义题目．