Question

在△ABC中，∠C=90°AC=BC，BD平分∠ABC，AD⊥BD，BD交AC于点F，延长AD、BC交于点E，
（1）求证：△ACE≌△BCF； 
（2）求证：BF=2AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，夹边为公共边，利用ASA得到三角形ACE与三角形BCF全等；
（2）由（1）的两三角形全等，得到AE=BF，再利用ASA得到三角形ABD与三角形EBD全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=ED，等量代换即可得证．

解答：证明：（1）∵∠CBF+∠CFB=90°，∠AFD+∠DAF=90°，且∠CFB=∠AFD，
∴∠CBF=∠DAF，
在△ACE和△BCF中，

∠EAC=FBC AC=BC ∠ACE=∠BCF=90°

，
∴△ACE≌△BCF（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCF，
∴AE=BF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，

∠ABD=∠EBD BD=BD ∠ADB=∠EDB=90°

，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=ED=

1

2

AE，
则BF=AE=2AD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．