Question

如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE．
小韬同学是一位聪明好学而且有钻研精神的同学，他发现∠DEF=∠DBF=90°，于是可以得到B、F、D、E四点共圆．
（1）请你帮小韬同学确定该圆的直径为

 

．
（2）请在图中作出该圆．小韬同学发现

DE

对两个圆周角∠DBE=∠DFE=45°，于是△DEF为等腰直角三角形，于是不用证全等就证明了FE=DE；
（3）通过以上材料解决下列问题，△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，∠ADE=60°，DE交∠ACB的外角平分线于点E，于是猜测AD

 

DE（“＞”“=”或“＜”），并证明你的结论．

Answer 1

考点：圆周角定理,等边三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）由∠DEF=∠DBF=90°，即可得DF是直径．
（2）首先根据题意画出圆，然后由圆周角定理，即可证得∠EDF=∠EFD=45°，则可得FE=DE；
（3）由∠ADE=∠ACE=60°，可得A，D，C，E共圆，然后由圆周角定理证得△ADE是等边三角形，则可证得结论．

解答：解：（1）∵∠DEF=∠DBF=90°，
∴DF是直径．
故答案为：DF．

（2）如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBE=45°，
∴∠DFE=∠DBE=45°，
∵DF是直径，
∴∠DEF=90°，
∴∠EDF=∠EFD=45°，
∴FE=DE；

（3）AD=DE．
理由：如图2，连接AE，
∵∠ADE=∠ACE=60°，
∴A，D，C，E共圆，
∴∠AED=∠ACB=60°，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE．
故答案为：=．

点评：此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．