Question

4．求边长为20cm的正六边形的面积，此正六边形内切圆周长和外接圆面积．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，易得△OBC是等边三角形，继而可得正六边形的半径、边心距，由S_正六边形=6S_△OBC求得正六边形的面积；正六边形的内切圆周长=2π×OH，由圆的面积公式即可得出外接圆的面积．

解答 解：如图所示：
连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=$\frac{1}{6}$×360°=60°，
∵OB=0C，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=20cm，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=10cm，
∴OH=$\sqrt{O{B}^{2}-B{H}^{2}}$=10$\sqrt{3}$cm，
∴正六边形的面积=6×$\frac{1}{2}$×20×10$\sqrt{3}$=600$\sqrt{3}$（cm²）；
正六边形内切圆周长=2π×10$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$π（cm）；
正六边形外接圆面积=π×20²=400π（cm）．

点评 此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、圆的周长和面积公式．此题难度适中，熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．