Question

5．自学：如图1，△ABC中，D是BC边上一点，则△ABD与△ADC有一个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{DC}$．
（△ABD，△ADC的面积分别用记号S_△ABD，S_△ADC表示）
心得：如图1，若BD=$\frac{1}{2}$DC，则S_△ABD：S_△ADC=1：2
成长：如图2，△ABC中，M，N分别是AB，AC边上一点，且有AM：MB=2：1，AN：NC=1：1，则△AMN与△ABC的面积比为1：3．
巅峰：如图3，△ABC中，P，Q，R分别是BC，CA，AB边上的点，且AP，BQ，CR相交于点O，现已知△BPO，△PCO，△COQ，△AOR的面积依次为40，30，35，84，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 心得：根据两个三角形有一个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比进行计算即可；
成长：连接BN，根据题意求出S_△ANB=S_△CNB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_AMN=$\frac{2}{3}$S_△ANB，计算即可；
巅峰：设△BRO和△AOQ的面积分别为x、y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．

解答 解：心得：∵BD=$\frac{1}{2}$DC，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABD：S_△ADC=1：2，
故答案为：1：2；
成长：如图②．连接BN，
∵AN：NC=1：1，
∴S_△ANB=S_△CNB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵AM：MB=2：1，
∴S_AMN=$\frac{2}{3}$S_△ANB，
∴△AMN与△ABC的面积比为1：3，
故答案为：1：3；
巅峰：设△BRO和△AOQ的面积分别为x、y，
∵△BPO，△PCO的面积分别为40，30，
∴$\frac{BP}{PC}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△APC}}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{84+x+40}{30+35+y}$=$\frac{4}{3}$，
$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△QOC}}$=2，
∴OB=2OQ，
∴$\frac{{S}_{△ABO}}{{S}_{△AQO}}$=2，即$\frac{84+x}{y}$=2，
则$\left\{\begin{array}{l}{4y-3x=108}\\{2y-x=84}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=60}\\{y=72}\end{array}\right.$，
∴△ABC的面积为：40+30+35+84+60+72=321．

点评 本题开车的是三角形的面积计算，掌握两个三角形有一个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比是解题的关键．