题目内容
在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ=Rt∠，直线AQ交y轴于点C（1）当a=1时，
①求点Q的坐标和直线AQ的解析式；
②点m在直线AQ上，点N为平面直角坐标系内，x轴下方一点，当以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，求所有符合条件的点N的坐标，直接写出答案．
（2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．
①求点Q运动路线对应的解析式；
②当AP+BQ的值最小时求a的值，直接写出答案．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）要求点Q的坐标，可作QF⊥BP，由于BP、OB已知，只需求出PF和QF．从条件“△APQ为等腰直角三角形”出发，构造全等，即可解决问题．
（2）本题要求动点Q到两定点A、B的距离之和AQ+BQ的最小值，属于“将军饮马型”，只需求出动点Q所在直线的解析式，然后运用解决“将军饮马型”的方法即可解决问题；要求AQ+BQ取最小值时对应的a的值，只需运用相似三角形对应高的比等于相似比建立关于a的方程，就可求出a的值．
（2）本题要求动点Q到两定点A、B的距离之和AQ+BQ的最小值，属于“将军饮马型”，只需求出动点Q所在直线的解析式，然后运用解决“将军饮马型”的方法即可解决问题；要求AQ+BQ取最小值时对应的a的值，只需运用相似三角形对应高的比等于相似比建立关于a的方程，就可求出a的值．
解答：
解：（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．
∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°．
∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF．
在△PEA和△PFQ中，
，
∴△PEA≌△PFQ（AAS），
∴PE=PF，EA=QF，
∵a=1，∴P（1，3）．
∴OE=BP=1，PE=3．
∵A（2，0），∴OA=2，∴EA=1．
∴PF=3，QF=1．
∴点Q的坐标为（4，4）．
（2）若点P的坐标为（a，3），则PF=PE=3，QF=AE=|2-a|．
∴点Q的坐标为（a+3，5-a）．
∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，5-a）都满足一次函数解析式y=-x+8，
∴点Q始终在直线y=-x+8上运动．
设直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点M、N，如图2所示．
当x=0时y=8，当y=0时x=8．
∴OM=ON=8．
∵∠AOB=90°，∴∠OMN=45°．
过点A关于直线MN作对称点A′，连A′Q、A′M，
则A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．
∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根据两点之间线段最短可知：
当A′、Q、B三点共线时，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值为A′B长．
设直线BP与A′M相交于点H，则BH⊥A′M．
在Rt△A′HB=90°，BH=OM=8，A′H=A′M-MH=6-3=3，
∴A′B=
=
=
，
当A′、Q、B三点共线时，
∵BN∥A′M，∴△BQN∽△A′QM．
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
=
=
，
解得xQ=
，
∴a+3=
，
∴a=
，
∴当a=
时，AQ+BQ的值最小为
．
故答案为：（4，4）、（
，
）．
解：（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°．
∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF．
在△PEA和△PFQ中，
|
∴△PEA≌△PFQ（AAS），
∴PE=PF，EA=QF，
∵a=1，∴P（1，3）．
∴OE=BP=1，PE=3．
∵A（2，0），∴OA=2，∴EA=1．
∴PF=3，QF=1．
∴点Q的坐标为（4，4）．
（2）若点P的坐标为（a，3），则PF=PE=3，QF=AE=|2-a|．
∴点Q的坐标为（a+3，5-a）．
∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，5-a）都满足一次函数解析式y=-x+8，
∴点Q始终在直线y=-x+8上运动．
设直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点M、N，如图2所示．
当x=0时y=8，当y=0时x=8．
∴OM=ON=8．
∵∠AOB=90°，∴∠OMN=45°．
过点A关于直线MN作对称点A′，连A′Q、A′M，
则A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．
∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根据两点之间线段最短可知：
当A′、Q、B三点共线时，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值为A′B长．
设直线BP与A′M相交于点H，则BH⊥A′M．
在Rt△A′HB=90°，BH=OM=8，A′H=A′M-MH=6-3=3，
∴A′B=
| BH2+A′H2 |
| 82+32 |
| 73 |
当A′、Q、B三点共线时，
∵BN∥A′M，∴△BQN∽△A′QM．
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
| XQ |
| 8-XQ |
| BN |
| A′M |
| 8-3 |
| 6 |
解得xQ=
| 40 |
| 11 |
∴a+3=
| 40 |
| 11 |
∴a=
| 7 |
| 11 |
∴当a=
| 7 |
| 11 |
| 73 |
故答案为：（4，4）、（
| 7 |
| 11 |
| 73 |
点评：这道题考查了全等的性质与判定、相似的性质与判定，两点之间线段最短，勾股定理等知识，综合性很强，求出动点Q所在直线的解析式是解决这道难题的关键；当直角坐标系中出现等腰直角三角形时，可考虑构造全等三角形，找出线段之间的等量关系，从而将条件与所求线段有机地联系起来；若要求一个动点到两个定点的距离之和的最小值，应联想到“将军饮马”这个基本模型．
练习册系列答案
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