Question

在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=-

1

3

x²+bx+4的图象上．
（1）求b与n的值
（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；
（3）若点P（不与点A重合）在题目中给出的二次函数的图象上，且∠POB=45°，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据A、B两点在函数图象上，可将将两点坐标代入，即可求出b和n的值；
（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，可求出梯形ODEB的面积，然后求出△AEB和△ADO的面积，相减即可求出△AOB的面积；
（3）求证△AOB为直角三角形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，根据∠POB=45°，求出∠OAD的度数，然后设P点坐标，将其代入到函数中，即可求出P的坐标．

解答：解：（1）∵点A（-1，3）在二次函数y=-

1

3

x²+bx+4的图象上，
∴3=-

1

3

(-1)2-b+4，解得b=

2

3

；
∴二次函数y=-

1

3

x2+

2

3

x+4
∵B（2，n）两点在二次函数y=-

1

3

x²+

2

3

x+4的图象上
∴n=-

1

3

×4+

2

3

×2+4
即n=4．

（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图①所示，

由题意可知OD=1，AD=3，BE=1+2=3，ED=4，AE=4-3=1，
∴梯形ODEB的面积为
SODEB=

1

2

(OD+BE)•DE=

1

2

×4×4=8
∵S△ADO=

1

2

AD•DO=

1

2

×3×1=

3

2

S△AEB=

1

2

AE•BE=

1

2

×1×3=

3

2

∴S_△AOB=S_梯形ODEB-S_△ADO-S_△AEB=8-

3

2

-

3

2

=5．
∴△AOB的面积为5．

（3）∵AO=

AD2+OD2

=

9+1

=

10

AB=

AE2+BE2

=

9+1

=

10

OB=

22+42

=

20

∴AO²+AB²=10+10=20=OB²
∴△AOB为等腰直角三角形，且∠BAO=90°，∠AOB=∠ABO=45°
∵点P不与点A重合，且∠POB=45°
∴∠AOP=∠AOB+∠POB=90°
过P点作PH⊥x轴，垂足为H，如图②所示，
∵∠POH+∠AOD=90°∠OAD+∠AOD=90°
∴∠POH=∠OAD
∴

PH

OH

=tan∠POH=tan∠OAD=

OD

AD

=

1

3

设PH=k，则OH=3k，P点坐标为（3k，k）
将P点（3k，k）代入二次函数y=-

1

3

x²+

2

3

x+4
得k=-

1

3

(3k)2+

2

3

•3k+4
整理得，3k²-k+4=0
解关于k的方程得，k=-1，k=

4

3

∴P点坐标为（-3，-1）或（4，

4

3

）
经检验（-3，-1）不符合题意舍去，故所求P点坐标为（4，

4

3

）．

点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．