Question

20．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接BD、OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，易得BE=DE，再证得∠C=∠CDE，从而证明BE=CE．
（2）如图2，作OH⊥AC于点H，连接OE，OD，易得OE∥AC，且OE=$\frac{1}{2}$AC，利用全等三角形的判定可得△DCF≌△EOF，证得BA=BC，可得∠A=45°，易得OH与CH的数量关系，由tan∠ACO=OH：HC，可得到tan∠ACO的值．

解答 解：（1）连接BD、OD，如图1，
∵DE为切线，
∴∠ODE=90°，
∵∠ABC=90°，∠ODB=∠OBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED，
∵∠CDE+∠BDE=90°，∠DBE+∠C=90°，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE，
∴BE=CE；

（2）作OH⊥AC于点H，连接OE，OD，如图2，
∵OA=OB，
∴OE∥AC，且OE=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF，
在△DCF与△EOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠OEF}\\{∠DCF=∠EOF}\\{CF=OF}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△EOF（AAS），
∴DC=OE=AD，
∴四边形CEOD为平行四边形，
∴CE=OD=OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴BA=BC，
∴∠A=45°，
∵OH⊥AD，
∴OH=AH=DH，
∴CH=3OH，
∴tan∠ACO=$\frac{OH}{CH}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了学生对全等三角形的判定方法及切线的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．