Question

2．如图，一次函数y=kx-3的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C和点D，若点C是OA的中点，且△PBD的面积等于15．
（1）点D的坐标是（0，-3）；
（2）求一次函数与反比例函数的表达式；
（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出y值，即可得出结论；
（2）由PA⊥x轴，PB⊥y轴可得出四边形OAPB是平行四边形，从而得出AP=OB；根据相似三角形的判定定理可得出△ACP≌△OCD，从而得出AP=OD=3，即BD=6；根据△PBD的面积等于15结合三角形的面积公式可算出PB的长度，由此得出P点的坐标，将P点的坐标分别代入一次函数和反比例函数解析式中即可得出结论；
（3）根据P点的坐标，结合两函数图象即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）令x=0，则y=-3，
即点D的坐标为（0，-3）．
故答案为：（0，-3）．
（2）∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，
∴PA∥y轴，PB∥x轴，
∴四边形OAPB是平行四边形，
∴AP=OB．
∵点C是OA的中点，
∴AC=OC．
在△ACP和△OCD中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠ACP=∠OCD}\\{∠PAC=∠DOC=90°}\\{OC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△OCD（AAS）．
∴AP=OD=3，
∴BD=6．
∵△PBD的面积等于15，
∴PB=5，
∴点P坐标为（5，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=5k-3}\\{3=\frac{m}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{6}{5}}\\{m=15}\end{array}\right.$．
∴一次函数解析式为y=$\frac{6}{5}$x-3，反比例函数解析式为y=$\frac{15}{x}$．
（3）∵点P坐标为（5，3），
∴结合函数图象可知：当x＞5时，一次函数的值大于反比例函数的值．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、三角形的面积公式、相似三角形的判定及性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）令x=0求y值；（2）求出点P的坐标；（3）结合函数图象得出不等式的解集．本题属于中档题，（1）（3）难度不大；（2）通过相似三角形的性质和三角形的面积公式去求P点的坐标，此处有点难度，在解决该问时，结合相等的量，去求P点坐标．