Question

5．一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动．快车离乙地的距离y₁（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系如图1中线段AB所示；慢车离乙地的距离y₂（km）与行驶的时间x （h）之间的函数关系如图1中线段OC所示．根据图象进行以下研究．
 
（1）分别求线段AB、OC对应的函数解析式y₁、y₂；
（2）设快、慢车之间的距离为S，求S（km）与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，并画出函数的图象；
（3）求快、慢车之间的距离超过135km时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用点A坐标为（0，450），可以得出甲，乙两地之间的距离为450，利用点A坐标为（0，450），点B坐标为（3，0），代入y₁=kx+b求出即可，利用线段OC解析式为y=ax求出即可；
（2）利用（1）中所求得出S=|y₁-y₂|，进而求出函数解析式，得出图象即可．
（3）S=135时，分两种情况：-225x+450=135或225x-450=135，解得：x=1.4或x=2.6则快、慢车之间的距离超过135km时，x的取值范围：0≤x＜1.4或2.6＜x≤6．

解答 解：（1）设线段AB的函数解析式为y₁=kx+b，
把点A坐标为（0，450），点B坐标为（3，0），代入y₁=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{b=450}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-150}\\{b=450}\end{array}\right.$
则y₁=-150x+450，
设线段OC的函数解析式为y=ax，
把（6，450）代入y=ax得：6a=450，
解得：a=75，
则y₂=75x．
（2）根据（1）得出，
S=|y₁-y₂|=|450-150x--75x|=$\left\{\begin{array}{l}{-225x+450（0≤x≤2）}\\{225x-450（2＜x≤3）}\\{75x（3＜x≤6）}\end{array}\right.$
函数图象如图所示：

（3）S=135时，分两种情况：
-225x+450=135或225x-450=135，
解得：x=1.4或x=2.6
则快、慢车之间的距离超过135km时，x的取值范围：0≤x＜1.4或2.6＜x≤6．

点评 此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求解析式，根据已知图象上的点得出函数解析式以及利用分段函数分析是解题关键．