Question

如图，已知，直线l分别交x轴y轴于A、B两点，OA、OB的长满足

OA-2

+|OB-3|=0，点P是直线l上一点，且AP=2BP．
（1）求直线l的解析式；
（2）求过点P的反比例函数解析式；
（3）点C（0，3）在反比例函数图象上是否存在一点D，使以点A、B、C、D为顶点，AC为腰的四边形为梯形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，即A和B的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式；
（2）AP=2BP，则AB=BP，作PE⊥y轴于点E，证明△AOB≌△PEB，求得PE和OE的长，则P的坐标即可求得，然后利用待定系数法求得反比例函数解析式；
（3）点A、B、C、D为顶点，AC为腰的四边形为梯形，则是梯形ABDC，其中D在第四象限，求得CD的解析式，然后解直线CD的解析式和反比例函数解析式的交点即可求解．

解答：解：（1）∵

OA-2

+|OB-3|=0，
∴OA-2=0，OB-3=0，
则OA=2，OB=3，
则A的坐标是（-2，0），B的坐标是（0，-3），
设直线l的解析式是y=kx+b，根据题意得：

-2k+b=0 b=-3

，
解得：

k=- 3 2 b=-3

，
则直线l的解析式是y=-

3

2

x-3；
（2）∵AP=2BP，
∴AB=BP，
作PE⊥y轴于点E．
在△AOB和△PEB中，

∠AOB=∠BEP ∠ABO=∠PBE AB=BP

，
∴△AOB≌△PEB（AAS），
∴PE=OA=2，BE=OB=，3，即OE=4，
∴P的坐标是（2，-6）．
设反比例函数的解析式是y=

k

x

，把（2，-6）代入得：k=-12，
则反比例函数的解析式是：y=-

12

x

；
（3）点A、B、C、D为顶点，AC为腰的四边形为梯形，
则是梯形ABDC，其中D在第四象限．
设直线CD的解析式是y=-

3

2

x+b，把（-2，0）代入解析式得：-3+b=0，
解得：b=3，
则直线CD的解析式是：y=-

3

2

x+3．
解方程组

y=- 3 2 x+3 y=- 12 x

，
解得：

x=4 y=-3

或

x=-2 y=6

（舍去）．
则D的坐标是（4，-3）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及全等三角形的判定与性质，正确确定点A、B、C、D为顶点，AC为腰的四边形为梯形，是梯形ABDC，其中D在第四象限是关键．