Question

13．如图，某巡逻艇计划以40海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，出发1.5小时到达B处时，突然接到C处的求救信号，于是巡逻艇立刻以60海里/时的速度向北偏东30°方向的C处航行，到达C处后，测得A处位于C处的南偏西60°方向，解救后巡逻艇又沿南偏东45°方向航行到D处．
（1）求巡逻艇从B处到C处用的时间．
（2）求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里？（结果精确到1海里）．
（参考数据：$\sqrt{3}≈1.73，\sqrt{6}≈2.45$）

Answer 1

分析 （1）根据外角定理和等角对等边求出BC的长，即路程，则时间=$\frac{路程}{速度}$，代入计算；
（2）原计划的路程为：AD的长，实际的路程为：AB+BC+CD，相减即可．

解答 解：（1）如图所示，
AB=1.5×40=60，
由题意得：∠ACF=60°，∠EBC=30°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∠CBF=90°-30°=60°，
∵∠CBF=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=60°-30°=30°，
∴∠ACB=∠A=30°，
∴BC=AB=60，
t=$\frac{60}{60}$=1，
答：巡逻艇从B处到C处用的时间为1小时；
（2）∵∠FCD=45°，∠CFD=90°，
∴△CFD是等腰直角三角形，
∴FC=FD=$\sqrt{3}$x=30$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{2}$FC=30$\sqrt{6}$，
则AB+BC+CD-（AB+BF+FD），
=BC+CD-BF-FD，
=60+30$\sqrt{6}$-30-30$\sqrt{3}$，
=30+30$\sqrt{6}$-30$\sqrt{3}$，
=30×（1+2.45-1.73），
≈52，
答：巡逻艇实际比原计划多航行了52海里．

点评 本题是解直角三角形的应用，考查了方向角问题；这在解直角三角形中是一个难点，要知道已知和所求的方向角的位置：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数；在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．