题目内容

15．如图，已知P为⊙O外一点，连结OP交⊙O于点A，且OA=2AP，求作直线PB，使PB与⊙O相切．以下是甲、乙两同学的作业．
甲：作OP的中垂线，交⊙O于点B，则直线PB即为所求．
乙：取OP的中点M，以M为圆心，OM长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线PB即为所求．
对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对

分析 如图1，OP的垂直平分线交OP于H，连结OB，设AP=x，则OA=2x，OB=2x，由于BH垂直平分OP，则BO=BP=2x，然后利用勾股定理的逆定理可判断△OBP不是直角三角形，则PB不是⊙O的切线，则可判断甲的说法错误；如图2，连结OB，利用圆周角定理得到∠OBP=90°，则OB⊥PB，于是根据切线的判定定理可判断PB与⊙O相切，所以乙的说法正确．

解答 解：如图1，OP的垂直平分线交OP于H，连结OB，设AP=x，则OA=2x，OB=2x，
∵BH垂直平分OP，
∴BO=BP=2x，
∵OB2+BP2=（2x）2+（2x）2=4x2，
OP2=（3x）2=9x2，
∴△OBP不是直角三角形，
∴PB不是⊙O的切线；所以甲的说法错误；
如图2，连结OB，
∵M点为OP的中点，
∴OP为⊙M的直径，
∴∠OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB与⊙O相切；所以乙的说法正确．
故选D．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．

练习册系列答案
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（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．

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