Question

15．如图，已知⊙O₁与⊙O₂交于点M，N，MA是⊙O₁的切线与⊙O₂交于点A，MB是⊙O₁的切线与⊙O₂交于点B，延长线到点P，使MN=NP，PA与⊙O₁交于点C，PB与⊙O₂交于点D，求证：C、N、D三点共线，且CN=ND．

Answer 1

分析 连接AB、NA、BN、MC．由△MAN∽△BMN，推出$\frac{MA}{MB}$=$\frac{MN}{BN}$，因为MN=NP，推出$\frac{MA}{MB}$=$\frac{NP}{BN}$，即$\frac{NP}{MA}$=$\frac{NB}{MB}$，推出△PNB∽△AMB，推出∠NPB=∠MAB，推出A、P、B、M四点共圆，推出∠MAP=∠MBD=∠MND，因为∠CAM=∠CNM，∠CAM+∠MAP=180°，推出∠CNM+∠MND=180°，推出C、N、D三点共线，再证明△MCN≌△PDN，即可解决问题．

解答 证明：连接AB、NA、BN、MC．
∵MA是⊙O₁的切线，MB是⊙O₁的切线，
∴∠MAN=∠BMN，∠AMN=∠MBN，
∴△MAN∽△BMN，
∴$\frac{MA}{MB}$=$\frac{MN}{BN}$，
∵MN=NP，
∴$\frac{MA}{MB}$=$\frac{NP}{BN}$，
∴$\frac{NP}{MA}$=$\frac{NB}{MB}$，
∵∠PNB=∠MBN+∠BMN=∠AMN+∠BMN=∠AMB，
∴△PNB∽△AMB，
∴∠NPB=∠MAB，
∴A、P、B、M四点共圆，
∴∠MAP=∠MBD=∠MND，
∵∠CAM=∠CNM，∠CAM+∠MAP=180°，
∴∠CNM+∠MND=180°，
∴C、N、D三点共线，
∵∠MCN=∠PMB=∠NDB，
在△MCN和△PDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCN=∠PDN}\\{∠MNC=∠PND}\\{MN=PN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△PDN，
∴CN=DN，
∴C、N、D三点共线，且CN=ND．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，本题的难点是证明A、P、B、M四点共圆，属于中考压轴题．