Question

3．阅读理解：
①3²+4²＞2×3×4
②3²+3²=2×3×3；
③（-2）²+4²＞2×（-2）×4；
④（-5）²+（-5）²=2×（-5）×5
（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；
（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；
（3）已知a+b=4，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）观察各式，即可得出规律：如果a、b是两个实数，则有a²+b²≥2ab；
（2）根据完全平方的计算结果是非负数证明即可；
（3）根据规律可得ab≤$\frac{1}{2}$（a²+b²）．

解答 解：（1）规律是：如果a、b是两个实数，则有a²+b²≥2ab；

（2）∵（a-b）²≥0，
∴a²-2ab+b²≥0，
∴a²+b²≥2ab；

（3）∵a²+b²≥2ab，
∴ab≤$\frac{1}{2}$（a²+b²）．
∵a+b=4，
∴b=4-a，
∴ab≤$\frac{1}{2}$[a²+（4-a）²]=a²-4a+8=（a-2）²+4≤4，
∴ab的最大值为4．

点评 此题主要考查了实数的大小的比较以及数字的变化规律，通过阅读题目，发现规律实质上是完全平方公式的变形：因为（a-b）²≥0，所以a²+b²≥2ab．