Question

4．由圆弧形弯道$\widehat{AB}$和两段直道AM、BN组成的一条公路示意图如图所示，直线AM、BN分别与$\widehat{AB}$所在的⊙O相切于点A、B．已知⊙O的半径为90m，$\widehat{AB}$的长为60πm，求直线AM与BN所成的锐角的度数，以及AM，BN的交点到⊙O的切线长．

Answer 1

分析 作辅助线，由弧长公式求出圆心角为120°，即∠AOB=120°，根据切线的性质得：OA⊥MA，OB⊥BN，则∠CAO=∠CBO=90°，由四边形的内角和为360°求出∠ACB=180°-120°=60°，根据直角三角形30°的三角函数求出结论．

解答 解：连接OA、OB，
延长MA、NB交于C，
由弧长公式得：60π=$\frac{∠AOB•90π}{180}$，
∴∠AOB=120°，
∵MA、NB为⊙O的切线，
∴OA⊥MA，OB⊥BN，
∴∠CAO=∠CBO=90°，
∴∠ACB=180°-120°=60°，
∴直线AM与BN所成的锐角的度数为60°，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，
∴tan30°=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{90}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=90$\sqrt{3}$m，
则AM，BN的交点到⊙O的切线长为90$\sqrt{3}$m．

点评 本题考查了切线的性质和弧长公式、四边形的内角和、特殊角的三角函数值，熟练掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是本题的关键，本题虽然难度不大，但应用的知识点较多．