Question

14．如图，点M（-3，m）是一次函数y=x+1与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象的一个交点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．
①当a=4时，求△ABC′的面积；
②当a的值为3时，△AMC与△AMC′的面积相等．

Answer 1

分析 （1）由一次函数解析式可得点M的坐标为（-3，-2），然后把点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值，可得反比例函数表达式；
（2）①连接CC′交AB于点D．由轴对称的性质，可知AB垂直平分OC′，当a=4时，利用函数解析式可分别求出点A、B、C、D的坐标，于是可得AB和CD的长度，即可求得△ABC的面积；
②由题意得点C的坐标为（$\frac{a}{2}$，$\frac{12}{a}$），则C′（$\frac{3a}{2}$，$\frac{12}{a}$），根据△AMC与△AMC′的面积相等得出C和C′到直线MA的距离相等，得出C、A、C′三点共线，进而求解．

解答 解：（1）把M（-3，m）代入y=x+1，则m=-2．
将（-3，-2）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=6，则反比例函数解析式是：y=$\frac{6}{x}$；

（2）①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′．
当a=4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB=3.5．
∵点Q为OP的中点，
∴Q（2，0），
∴C（2，3），则D（4，3），
∴CD=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×3.5×2=3.5，则S_△ABC′=3.5；
②∵△AMC与△AMC′的面积相等，
∴C和C′到直线MA的距离相等，
∴C、A、C′三点共线，
∴AP=CQ=$\frac{12}{a}$，
又∵AP=PN，
∴$\frac{12}{a}$=a+1，解得a=3或a=-4（舍去），
∴当a的值为3时，△AMC与△AMC′的面积相等．
故答案是：3．

点评 本题综合考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征以及轴对称的性质．难度较大，解题时需要注意数形结合．