Question

19．把长为36cm的铁丝剪成相等的两段，用一段弯成一个矩形，另一段弯成一个有一条边为5cm的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形面积相等，求矩形的长和宽．

Answer 1

分析 根据题意求出矩形和等腰三角形的周长，分等腰三角形的腰为5cm和等腰三角形的底为5cm两种情况进行解答即可．

解答 解：由题意得，矩形和等腰三角形的周长都是18cm，
当等腰三角形的腰为5cm时，底边长为8cm，则三角形的面积为12cm²，
设矩形的长为x，则宽为9-x，
x（9-x）=12，
解得，x₁=$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$，x₂=$\frac{9-\sqrt{33}}{2}$，
9-x₁=$\frac{9-\sqrt{33}}{2}$，9-x₂=$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$，
则矩形的长和宽分别为$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{33}}{2}$；
当等腰三角形的底为5cm时，腰长为6.5cm，则三角形的面积为15cm²，
设矩形的长为x，则宽为9-x，
x（9-x）=15，
解得，x₁=$\frac{9+\sqrt{21}}{2}$，x₂=$\frac{9-\sqrt{21}}{2}$，
9-x₁=$\frac{9-\sqrt{21}}{2}$，9-x₂=$\frac{9+\sqrt{21}}{2}$，
则矩形的长和宽分别为$\frac{9+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质和列一元二次方程解应用题，根据题意正确找出等量关系，列出方程、正确解出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．