我们知道.2=2.=42-2=13-如果两个含有二次根式的非零代数式相乘.它们的积不含有二次根式.就说这两个非零代数式互为有理化因式．如4+$\sqrt{3}$与4-$\sqrt{3}$互为有理化因式.$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$与$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$互为有理化因式．利用这种方法.可以将分母中含有二次根式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．我们知道，（$\sqrt{2}$）²=2，（4+$\sqrt{3}$）（4-$\sqrt{3}$）=4²-（$\sqrt{3}$）²=13…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如4+$\sqrt{3}$与4-$\sqrt{3}$互为有理化因式，$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$与$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$互为有理化因式．
利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{1}{\sqrt{3}-2}$=$\frac{\sqrt{3}+2}{（\sqrt{3}-2）（\sqrt{3}+2）}$=$\frac{\sqrt{3}+2}{（\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+2}{-1}$=-$\sqrt{3}$-2
（1）$\frac{5}{\sqrt{3}}$分母有理化的结果是$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
（2）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$分母有理化的结果是$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
（3）$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$分母有理化的结果是$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（4）利用以上知识计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$．

分析（1）（2）（3）根据分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，依此计算解答出即可；
（4）先对每个分式分母有理化，然后再相加减．

解答解：（1）$\frac{5}{\sqrt{3}}$分母有理化的结果是$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
（2）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$分母有理化的结果是$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
（3）$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$分母有理化的结果是$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（4）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=-1+12$\sqrt{14}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

点评本题考查了分母有理化，两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式；一个二次根式的有理化因式不止一个．