Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b（a，b是常数，且a≠0）的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k是常数，且k≠0）的图象交于一、三象限内的A，B两点，与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=$\frac{2}{5}$．
（1）求点B的坐标及反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于E，F两点，连结OE，OF，求△EOF的面积．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形求出B的坐标，代入求出反比例函数解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后的解析式为y=x-3，解方程组得到E（-5，-2）．F（2，5），于是得到结论．

解答 解：（1）过B作BM⊥x轴于M，
∵B（n，-2），tan∠BOC=$\frac{2}{5}$，
∴BM=2，tan∠BOC=$\frac{2}{OM}$=$\frac{2}{5}$，
∴OM=5，
即B的坐标是（-5，-2），
把B的坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：k=10，
即反比例函数的解析式是y=$\frac{10}{x}$，
把A（2，m）代入得：m=5，
即A的坐标是（2，5），
把A、B的坐标代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{5=2k+b}\\{-2=-5k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=3，
即一次函数的解析式是y=x+3；
（2）∵将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后的解析式为y=x-3，
解：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=\frac{10}{x}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴E（-5，-2），F（2，5），
∴△EOF的面积=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}×$3×5=$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题解直角三角形，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．