Question

2．如图，△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，F，求证：
（1）∠FDE=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

Answer 1

分析 （1）连接IE，IF，根据切线的性质，可得出∠AEI和∠AFI等于90°，再由四边形内角和求出∠EIF，由圆周角定理即可得出结果；
（2）由内心的性质得出∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再由三角形内角和定理即可得出结果．

解答 证明：（1）连接IE，IF，如图所示：
∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∴∠EIF=360°-90°-90°-∠A=180°-∠A，
∴∠FDE=$\frac{1}{2}$∠EIF=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BIC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，四边形的内角和定理，圆周角定理；熟练掌握三角形内心的性质是解决问题的关键，注意辅助线的作法．