Question

14．如图，AB为⊙O的直径，连接CD，若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为$\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$．（结果保留π）

Answer 1

分析 过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积-三角形OCD的面积，列式计算即可求解．

解答 解：过O点作OE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OE=1，CE=DE=$\sqrt{3}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的面积为：$\frac{120π×{2}^{2}}{360}-\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$．

点评 考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD的面积-三角形OCD的面积．