Question

8．已知△BAC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90°．
（1）如图1，点E、B、C三点在一条直钱上，连接AE，若∠AEC=30°，BC=4，求BE的长．
（2）如图2，将△BDE以点B为旋转中心顺时针旋转，当C在ED延长线上时，EC交AB于点H．求证：∠BAE=2∠BCH．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AH⊥BC于H．利用等腰直角三角形的性质求出AH，在Rt△AEH中，根据EH=$\frac{AH}{tan30°}$，求出EH即可解决问题．
（2）如图2中，连接AD．由△BHD∽△CHA，推出△AHD∽△CHB，推出∠ADH=∠CBH=45°，∠DAH=∠BCH，推出∠ADB=90°+45°=135°，推出∠ADE=360°-90°-135°=135°，即∠ADE=∠ADB，推出△ADE≌△ADB，即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴AH=BH=HC=2，
在Rt△AEH中，∵∠AHE=90°，AH=2，∠AEH=30°，
∴EH=$\frac{AH}{tan30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴BE=EH-BH=2$\sqrt{3}$-2．

（2）证明：如图2中，连接AD．

∵∠BDH=∠HAC，∠BHD=∠CHA，
∴△BHD∽△CHA，
∴$\frac{DH}{AH}$=$\frac{BH}{CH}$，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{AH}{CH}$，∵∠AHD=∠CHB，
∴△AHD∽△CHB，
∴∠ADH=∠CBH=45°，∠DAH=∠BCH，
∴∠ADB=90°+45°=135°，
∴∠ADE=360°-90°-135°=135°，
∴∠ADE=∠ADB，
在△ADE和△ADB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADE=∠ADB}\\{DE=DB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADB，
∴∠DAE=∠DAB，
∵∠DAB=∠BCH，
∴∠BAE=2∠BCH．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．