题目内容

3．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b$\sqrt{2}$=m2+2n2+2mn$\sqrt{2}$，∴a=m2+2n2，b=2mn，这样小明就找到了一种把部分a+b$\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法．
请我仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=m2+3n2，b=2mn．
（2）若a+4$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．

分析 （1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形得出m，n的值，进而得出答案．

解答 解：（1）∵a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）2，
∴a+b$\sqrt{3}$=m2+3n2+2$\sqrt{3}$mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn；
故答案为：m2+3n2，2mn；

（2）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{a={m}^{2}+3{n}^{2}}\\{4=2mn}\end{array}\right.$，
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13．

点评 此题主要考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．

练习册系列答案
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A．45°B．50°C．55°D．60°

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