Question

6．如图，正方形ABCD中，P为CD上一动点，过C作CM⊥AP交AP于M并延长AP，使MN=AM，连BD交AN于E，连CN．
（1）求证：CN=BD；
（2）连BM、DM，试探究BM、DM与MN之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AC．由AM=MN，CM⊥AN，推出CN=CA，由四边形ABCD是正方形，推出BD=AC，延长即可证明．
（2）结论：MB+MD=$\sqrt{2}$MA．如图2中，连接AC交BD于O，延长DB到F使得BF=DM，连接OM．只要证明△ADM≌△ABF，推出AM=AF，∠DAM=∠BAF，推出∠MAF=∠DAB=90°，推出MF=$\sqrt{2}$MA，延长即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接AC．

∵AM=MN，CM⊥AN，
∴CN=CA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=AC，
∴CN=BD．

（2）解：结论：MB+MD=$\sqrt{2}$MA．
理由：如图2中，连接AC交BD于O，延长DB到F使得BF=DM，连接OM．

在Rt△AMC中，∵OA=OC，
∴OM=OA=OC=OB=DO，
∴A、B、C、M、D五点共圆，
∴∠ADM+∠ABD=180°，
∵∠ABD+∠ABF=180°，
∴∠ADM=∠ABF，∵AD=AB，DM=BF，
∴△ADM≌△ABF，
∴AM=AF，∠DAM=∠BAF，
∴∠MAF=∠DAB=90°，
∴MF=$\sqrt{2}$MA，
∵MF=BF+MB=MD+MB，
∴MB+MD=$\sqrt{2}$MA．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、四点共圆、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．