Question

14．如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若已知AE=9，CF=4，求DE长；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan∠AFE的值及GD长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由角平分线的定义得到∠1=∠2，得到$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，根据垂径定理得到OD⊥EF，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论；
（2）连接DE，由$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，得到DE=DF，根据平行线的性质得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）过F作FH⊥BC于H，由已知条件得到∠1=∠2=∠3=∠4=30°，解直角三角形得到FH=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}×6$=3，DH=3$\sqrt{3}$，CH=$\sqrt{C{F}^{2}-H{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，根据三角函数的定义得到tan∠AFE=tan∠C=$\frac{HF}{CH}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$；根据相似三角形到现在即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，
∴OD⊥EF，
∵EF∥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：连接DE，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，
∴DE=DF，
∵EF∥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠DFC=∠AED，
∴△AED∽△DFC，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{DE}{CF}$，即$\frac{9}{DE}=\frac{DE}{4}$，
∴DE²=36，
∴DE=6；

（3）解：过F作FH⊥BC于H，
∵∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}×6$=3，DH=3$\sqrt{3}$，
∴CH=$\sqrt{C{F}^{2}-H{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠AFE，
∴tan∠AFE=tan∠C=$\frac{HF}{CH}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$；
∵∠4=∠2．∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{CD}{CF}$，
∵∠5=∠5，∠3=∠2，
∴△ADF∽△FDG，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{DF}{DG}$，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{DF}{DG}$，即$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4}$=$\frac{6}{DG}$，
∴DG=$\frac{18\sqrt{3}-6\sqrt{7}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．